Somatório e Produtório

Propriedades de Somatório
$$ \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) $$, onde C é uma constante.

$$ \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] $$

$$ \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] $$

$$ \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p) $$

$$ \sum\limits_{n=s}^{t} j =  \sum\limits_{n=1}^{t} j - \sum\limits_{n=1}^{s-1} j  $$

$$ \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)$$, note que $$ s \leq  j \leq t $$

$$ \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2},$$ progressão aritmética.

$$ \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} $$

$$ \sum\limits_{k=0}^{n-1}{2^k} = 2^n-1 $$

$$ \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j $$

$$ \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 $$

$$ \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n) $$

$$ \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} $$

Soma simples
$$\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+...+x_n$$

Soma de quadrados
$$\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2$$

Quadrado da soma
$$(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (x_1+x_2+...+x_n)^2$$

Soma de produtos
$$\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n$$

Produtos das somas
$$(\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{j=1}^{m} y_j) = (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)$$

Aplicação das Propriedades
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:

Exemplo 1
Utilize as propriedades de notação  de  somatório e, possivelmente, mudança  de índice  para deduzir que $$\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})$$ é igual a $$a_n - a_0$$, onde $$(a_i )_{i=0}^{\infty}$$ é uma sequência  de números  reais. Este tipo de  soma  é bastante conhecida em Matemática como soma telescópica.

Resolução
$$ \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}$$

Expandindo $$n$$ vezes:

$$ \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)$$

$$ \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0$$

$$ \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 $$

Exemplo 2
O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para

$$\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )$$

Para tal, note que

$$k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1$$

Logo,

$$\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) $$

Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar  a fórmula desejada.

Resolução
$$ \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2$$

Pela fórmula da soma telescópica

$$ \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2$$

Exemplo 3
Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus  conhecimentos de soma  de termos de uma PA para calcular

$$\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )$$

de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas soluções lhe parece mais fácil?

Resolução
$$\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1$$

$$\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n$$

$$\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n$$

$$\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n$$

$$\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2$$

Exemplo 4
Suprimindo um dos elementos do conjunto {$$1, 2,. . ., n$$}, a média aritmética dos elementos

16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.

Resolução
$$\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}$$

média aritmética: $$\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k$$

média aritmética de $$n-1 \text{: }\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1} k = 16,1$$

Exemplo 5
Encontre uma fórmula fechada

$$\sum_{k=1}^{n} k^3$$

onde n ∈ N, com n ≥ 1. Observe o padrão utilizado para resolver as duas questões anteriores e

Exemplo 6
Calcule a soma

$$\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!$$

onde $$ n \in N \text{,com } n \geq 1$$

Resolução
Separando o somatório:

$$\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k! $$

Temos:

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

e teremos que descobrir o

$$\sum_{k=1}^{n} k!$$

então

$$\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! $$

$$1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!$$

Exemplo 7
Os números $$\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}$$

podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?

Resolução
Assumindo uma PA $$(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})$$

os termos $$\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}$$ pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c) for igual a o termo do meio:

$$\frac {a+c}{2}= b $$

$$\sqrt{3}=1,732050807568877$$

$$\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988749895 $$

$$\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}= 1,707106781186548 $$

Portanto $$\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}$$ não pertencem a mesma progressão aritmética.

Multiplicação por constante
$$ \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) $$, onde C é uma constante.

Passo base: s = t
$$ \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) $$, pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t
Suponha que para um $$k \in N, k > s$$ arbitrário:

$$ \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) $$ (Hipótese de indução)

Para $$k+1$$, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

$$ \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)$$, pela definição de somatório.

Aplicando a HI:

$$ \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)$$

Expandindo $$k-s$$ vezes:

$$ \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))$$

Colocando $$C$$ em evidência:

$$ \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))$$

$$ \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) $$

Portanto:

$$ \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) $$, onde C é uma constante, $$\forall s, t \in N$$.

Mudança de índices
$$ \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) $$

Passo base: s = t
$$ \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) $$, pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t
Suponha que para um $$k \in N, k > s$$ arbitrário:

$$ \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) $$ (Hipótese de indução)

Para $$k+1$$, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

$$ \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)$$, pela definição de somatório.

Aplicando a HI:

$$ \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)$$

Expandindo $$k-s$$ vezes:

$$ \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)$$

$$ \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)$$

$$ \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)$$, uma vez que existem $$k+2$$ termos.

Portanto:

$$ \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N$$.

Elixir
defmodule FMC do def somatorio(start \\0, finish, callback)

def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do   callback.(start) end

def somatorio(start, finish, callback) do   _somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback) end

defp _somatorio([], _), do: 0 defp _somatorio([head | tail], callback) do   callback.(head) + _somatorio(tail, callback) end end