Contagem

\usepackage{amsmath} A contagem é fundamental para o estudo da matemática discreta, a complexidade de algoritmos, combinatórios, e alguns ramos da álgebra tais como a teoria do grupo finito. Este capítulo apresenta uma variedade de técnicas que estão disponíveis no Maple para contar uma coleção diversa de objetos discretos, incluindo combinações e permutações de conjuntos finitos. Objetos podem ser contados usando fórmulas ou outros algoritmos, ou listando-os e observando diretamente o tamanho da lista. A última abordagem por um número de procedimentos Maple que pode ser usado para gerar estruturas combinatórias.

A maioria dos procedimentos Maple relevantes a este capítulo pertence em um ou dois pacotes. O pacote “combinat” é a parte padrão da versão da biblioteca 3Maple.

Um novo pacote “combstruct” está disponível como uma biblioteca compartilhada para MapleV, versão 3, e é um pacote padrão da versão 4. Você pode acessar os serviços oferecidos por qualquer um desses pacotes usando o comando “with” para carregá-lo na sua sessão Maple. (Se você está usando Maple V, versão 3, você também deve colocar with(share) antes de digitar with(combstruct)).

É útil saber que o pacote combstruct, enquanto provê uma grande variedade de procedimentos, organiza algumas das funções básicas em grupos relacionados a um objeto combinatório particular (como, por exemplo, combinações ou partições). Para muitos tipos de objetos combinatórios, existem procedimentos Maple para fazer as seguintes operações.
 * 1) Você pode construir todos os objetos daquele tipo associado a um inteiro dado. Ao procedimento para fazer isso é geralmente dado um nome refletindo o tipo de objeto. (Por exemplo, “permute” and “partitions”.)
 * 2) Você pode contar todos os objetos daquele tipo associado a um inteiro dado. Aqueles procedimentos geralmente começão com a string “numb” e são completados por uma abreviaçãodo tipo de objeto sendo contado. (Por exemplo, “numbperm” e “numbpart”.)
 * 3) Você pode gerar um objeto aleatório daquele tipo associado a um inteiro dado. Uma abreviação do tipo de objeto sendo gerado, prefixado com a string “rand” é como essas rotinas são normalmente nomeadas. (Por exemplo, “randperm” e “randpart”.)

Claro, também existem muitas outras funções que não se encaixam neste esquema.

1. Funções Maple relevantes
O pacote “combinat” contém muitas funções pertinentes à contagem e geração de estruturas combinatórias. A lista de funções neste pacote é:

with(combinat);

Existe outro pacote, “combstruct”, disponível no Maple V, versão 4, que também lida com estruturas combinatórias. A maior parte do que este pacote faz está além do escopo deste livro, mas algumas de suas funções expandem o que o pacote “combinat” faz. O pacote “combstruct” fornece funções “interstructs”.

count        Para contar o número de objetos de um dado tamanho

draw         Para gerar um objeto aleatório de um dado tamanho

allstructs   Para gerar todos os objetos de um dado tamanho

iterstructs  Para gerar a “próxima” estrutura de um dado tamanho

As estruturas relevantes que “combstruct” pode lidar são permutação, combinação/subconjunto, partição.

Para acessar os serviços fornecidos pelo pacote “combstruct”, digite:

with(combstruct);

Se você estiver usando a versão 3 do Maple, primeiramente você terá que utilizar o comando “with(share)”, já que o pacote “combstruct” é parte da biblioteca na versão 3.

As funções no pacote “combinat” para combinações são “numbcomb”, “choose”, e “randcomb”. Este é o número de formas de escolher duas frutas a partir de uma maçã, uma laranja e uma pera.

numbcomb([apple, orange, pear], 2);

Aqui estão as possíveis escolhas:

choose([apple, orange, pear], 2);

A função “numbcomb” conta o número de combinações (ou r-combinações) de um conjunto. A função “choose” lista as combinações. Portanto sempre existirão elementos “numbcomb” listados por “choose”.

nops(%);

E se tivermos duas maçãs e nenhuma pêra (um exemplo com elementos indistinguíveis):

numbcomb([apple, apple, orange],2);

Com as escolhas:

choose([apple, apple, orange],2);

Se nós não fornecemos o segundo argumento, todas as combinações possíveis de todos os tamanhos possíveis são consideradas.

numbcomb([apple, apple, orange]);

choose([apple, apple, orange]);

Nós também podemos escolher combinações aleatórias.

randcomb([chocolate, vanilla, cookiedough],2); randcomb(5,3);

Neste exemplo, o 5 representa o conjunto $${1, 2, 3, 4, 5}$$.

Usando combstruct, nós resolveríamos os problemas acima da seguinte forma:

count(Combination([apple,orange,pear]),size=2); allstructs(Combination([apple,orange,pear]), size=2); draw(Combination([chocolate,vanilla,cookiedough]),size=2);

Coeficientes binomiais podem ser calculados tanto chamando a função numbcomb como um inteiro como primeiro argumento,

numbcomb(10,5);

ou nós podemos calcular $$C(n, r)$$, usando a função binomial. Então nós resolvemos o exemplo 7 na seção 4.3 da seguinte forma:

binomial(10,5);

Quando n e r são inteiros não negativos e $$r \leq n$$, binomial e numbcomb se comportam de forma idêntica. O procedimento binomial é mais geral, e expande a definição dos coeficientes binomiais. Não vamos discutir seu uso mais geral aqui.