Difference between revisions of "Somatório e Produtório"

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<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math>
 
<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math>
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=== Exemplo 2 ===
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O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math>
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Para tal, note que
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<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math>
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Logo,
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<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math>
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Então, utilize o resultado do problema conhecido como  "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar  a fórmula
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desejada.
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==== Resolução ====
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<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math>
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Pela fórmula da soma telescópica
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<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math>
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=== Exemplo 3 ===
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Utilize as  propriedades de notação de somatório e os seus  conhecimentos de soma  de termos de uma PA para
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calcular
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math>
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de forma  distinta daquela usada no problema anterior. Qual  das duas
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soluções lhe parece mais fácil?
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==== Resolução ====
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math>
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math>
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math>
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math>
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math>
  
 
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Revision as of 15:07, 9 December 2015

Propriedades de Somatório

, onde C é uma constante.

, note que

progressão aritmética.



Principais representações

Soma simples

Soma de quadrados

Quadrado da soma

Soma de produtos

Produtos das somas


Aplicação das Propriedades

Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:

Exemplo 1

Utilize as propriedades de notação de somatório e, possivelmente, mudança de índice para deduzir que é igual a , onde é uma sequência de números reais. Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como soma telescópica.

Resolução


Expandindo vezes:

Exemplo 2

O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para


Para tal, note que


Logo,


Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula desejada.

Resolução


Pela fórmula da soma telescópica

Exemplo 3

Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para calcular

de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas soluções lhe parece mais fácil?

Resolução


Provas de algumas propriedades

Multiplicação por constante

, onde C é uma constante.

Passo base: s = t

, pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t

Suponha que para um arbitrário:

(Hipótese de indução)


Para , assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

, pela definição de somatório.


Aplicando a HI:


Expandindo vezes:


Colocando em evidência:


Portanto:

, onde C é uma constante, .


Mudança de índices

Passo base: s = t

, pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t

Suponha que para um arbitrário:

(Hipótese de indução)


Para , assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

, pela definição de somatório.


Aplicando a HI:


Expandindo vezes:

, uma vez que existem termos.


Portanto:

.


Somatório em Linguagem Funcional

Elixir[1]

defmodule FMC do
  def somatorio(start \\0, finish, callback)

  def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do
    callback.(start)
  end

  def somatorio(start, finish, callback) do
    _somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)
  end

  defp _somatorio([], _), do: 0
  defp _somatorio([head | tail], callback) do
    callback.(head) + _somatorio(tail, callback)
  end
end

Referências