Difference between revisions of "Somatório e Produtório"

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====Multiplicação por constante====
 
====Multiplicação por constante====
 
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.
 
<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.
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===== Passo base: s = t =====
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<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.
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===== Passo indutivo: s < t =====
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Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:
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<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)
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Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot F(n)</math>, pela definição de somatório.
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Aplicando a HI:
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math>
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Expandindo <math>k-s</math> vezes:
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math>
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Colocando <math>C</math> em evidência:
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math>
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math>
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Portanto:
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<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, \forall t \in N.
  
 
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Revision as of 01:33, 9 December 2015

Propriedades de Somatório

, onde C é uma constante.

, note que

progressão aritmética.



Principais representações

Soma simples

Soma de quadrados

Quadrado da soma

Soma de produtos

Produtos das somas


Aplicação das Propriedades

Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:



Provas de algumas propriedades

Multiplicação por constante

, onde C é uma constante.

Passo base: s = t

, pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t

Suponha que para um arbitrário:

(Hipótese de indução)


Para , assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

, pela definição de somatório.


Aplicando a HI:


Expandindo vezes:


Colocando em evidência:


Portanto:

, onde C é uma constante, \forall t \in N.


Somatório em Linguagem Funcional

Elixir[1]

defmodule FMC do
  def somatorio(start \\0, finish, callback)

  def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do
    callback.(start)
  end

  def somatorio(start, finish, callback) do
    _somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)
  end

  defp _somatorio([], _), do: 0
  defp _somatorio([head | tail], callback) do
    callback.(head) + _somatorio(tail, callback)
  end
end

Referências