Difference between revisions of "Somatório e Produtório"

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Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:
 
Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:
  
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=== Exemplo 1 ===
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Utilize  as propriedades de notação  de  somatório e,
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possivelmente, mudança  de índice  para deduzir que
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<math>\sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1})</math> é igual a <math>a_n - a_0</math>,
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onde <math>(a_i )_{i=0}^{\infty}</math> é  uma sequência  de números  reais.
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Este  tipo de  soma  é bastante conhecida em Matemática como ''soma telescópica''.
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==== Resolução ====
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<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + \sum_{j=1}^{n-1}</math>
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Expandindo <math>n</math> vezes:
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<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)</math>
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<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - \cancel{a_{n-1}} + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + ... + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_1} - a_0</math>
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<math> \sum_{j=1}^n (a_j - a_{j-1}) = a_n - a_0 </math>
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=== Exemplo 2 ===
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O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math>
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Para tal, note que
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<math>k^2 - ( k - 1)^2 = 2k - 1</math>
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Logo,
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<math>\sum_{k=1}^n \left ( k^2 - ( k - 1)^2 \right ) = \sum_{k=1}^n ( 2k - 1) </math>
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Então, utilize o resultado do problema conhecido como  "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar  a fórmula
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desejada.
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==== Resolução ====
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<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = \sum_{k=1}^n k^2 - (k-1)^2</math>
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Pela fórmula da soma telescópica
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<math> \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - 1 = n^2 - 0^2 = n^2</math>
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=== Exemplo 3 ===
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Utilize as  propriedades de notação de somatório e os seus  conhecimentos de soma  de termos de uma PA para
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calcular
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 )</math>
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de forma  distinta daquela usada no problema anterior. Qual  das duas
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soluções lhe parece mais fácil?
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==== Resolução ====
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = \sum_{k=1}^n 2 \cdot k - \sum_{k=1}^n 1</math>
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \sum_{k=1}^n k - n</math>
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} - n</math>
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2 + n - n</math>
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<math>\sum_{k=1}^n (2 \cdot k - 1 ) = n^2</math>
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===Exemplo 4===
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Suprimindo um dos elementos do conjunto {<math>1, 2, . . . , n</math>}, a média aritmética dos elementos
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16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.
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==== Resolução ====
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<math>\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n= \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math>
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média aritmética é dada por :
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<math>\frac {\frac{n \cdot (n+1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n+1)}{2n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k</math>
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Pela propriedade da progressão aritmética
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<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}</math>
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usando a função de calculo da média:
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<math>\frac{(n-1)n}{2(n-1)} = \frac{n}{2} = 16,1</math>
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<math>n = 32,2</math>
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Substituindo <math>n</math> na equação:
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<math>n-1 = 31,2</math>
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<math>\sum_{k=1}^{n-1} k = 517,92</math>
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<math>\sum_{k=1}^{n} k = 534,52</math>
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Portanto o termo omitido foi:
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<math>534,52 - 517,92 = 16,6</math>
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===Exemplo 5===
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Encontre uma fórmula fechada
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<math>\sum_{k=1}^{n} k^3</math>
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onde <math>n \in N \text{, com } n \geq 1</math> .
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==== Resolução ====
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<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \sum_{k=1}^{n} kk^2 = \sum_{k=1}^{n} k \sum_{k=1}^{n} k^2</math>
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Temos:
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 +
<pre>Incompleto
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</pre>
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===Exemplo 6===
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Calcule a soma
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<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!</math>
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onde <math> n \in N \text{,com } n \geq 1</math>
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==== Resolução ====
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Separando o somatório:
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<math>\sum_{k=1}^{n} k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n} k\cdot \sum_{k=1}^{n} k!  </math>/
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teremos que descobrir o
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<math>\sum_{k=1}^{n} k!</math>
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então
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<math>\sum_{k=1}^{n} k!+(n+1)! = \sum_{k=0}^{n} (k!+1)! </math>
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<math>1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)! = 1+\sum_{k=1}^{n} (k+1)k!</math>
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 +
<pre>Incompleto
 +
</pre>
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===Exemplo 7===
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Os números <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math>
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podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?
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==== Resolução ====
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Assumindo uma PA  <math>(\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},\sqrt{5})</math>
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os termos <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math>
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pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c)
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for igual a o termo do meio:
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<math>\frac {a+c}{2}= b </math>
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<math>\sqrt{3}\simeq1,7</math>
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inserindo os valores na equação:
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<math>\frac {\sqrt{1}+\sqrt{5}}{2}\simeq1,6 </math>
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<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2}\simeq 1,7 </math>
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<math>\frac {\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,8 </math>
 +
 +
 +
Portanto <math>\sqrt{2}, \quad \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \sqrt{5}</math> não pertencem a mesma progressão aritmética.
  
  
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== Provas de algumas propriedades ==
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===Multiplicação por constante===
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<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante.
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===== Passo base: s = t =====
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<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot f(n) </math>, pela definição de somatório.
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===== Passo indutivo: s < t =====
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Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:
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<math> \sum_{n=s}^k C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^k f(n) </math> (Hipótese de indução)
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 +
Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + \sum_{n=s}^k C\cdot f(n)</math>, pela definição de somatório.
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 +
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Aplicando a HI:
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot f(k+1) + C\cdot \sum_{n=s}^k f(n)</math>
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Expandindo <math>k-s</math> vezes:
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1)) + C\cdot (f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math>
 +
 +
 +
Colocando <math>C</math> em evidência:
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot (f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s+1) + f(s))</math>
 +
 +
<math> \sum_{n=s}^{k+1} C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^{k+1} f(n) </math>
 +
 +
 +
Portanto:
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<math> \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) </math>, onde C é uma constante, <math>\forall s, t \in N</math>.
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=== Mudança de índices ===
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<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>
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===== Passo base: s = t =====
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<math> \sum_{n=s}^t f(n) = f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) </math>, pela definição de somatório.
 +
 +
===== Passo indutivo: s < t =====
 +
 +
Suponha que para um <math>k \in N, k > s</math> arbitrário:
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<math> \sum_{n=s}^k f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1) </math> (Hipótese de indução)
 +
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Para <math>k+1</math>, assumindo o lado esquerdo da equação, temos:
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s}^k f(n)</math>, pela definição de somatório.
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Aplicando a HI:
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + \sum_{n=s+1}^{k+1} f(n-1)</math>
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Expandindo <math>k-s</math> vezes:
 +
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k+1-1) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s+1-1)</math>
 +
 +
<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = f(k+1) + f(k) + f(k-1) + ... + f(s-1) + f(s)</math>
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<math> \sum_{n=s}^{k+1} f(n) = \sum_{n=s+1}^{k+2} f(n-1)</math>, uma vez que existem <math>k+2</math> termos.
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Portanto:
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<math> \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+1}^{t+1} f(n-1) \forall s, t \in N</math>.
 
----
 
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== Somatório em Linguagem Funcional ==
 
== Somatório em Linguagem Funcional ==
+
 
====F#====
+
====Elixir<ref>https://github.com/jaimerson/fmc-elixir-somatorio</ref>====
 +
<pre>
 +
defmodule FMC do
 +
  def somatorio(start \\0, finish, callback)
 +
 
 +
  def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do
 +
    callback.(start)
 +
  end
 +
 
 +
  def somatorio(start, finish, callback) do
 +
    _somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)
 +
  end
 +
 
 +
  defp _somatorio([], _), do: 0
 +
  defp _somatorio([head | tail], callback) do
 +
    callback.(head) + _somatorio(tail, callback)
 +
  end
 +
end
 +
</pre>
  
 
----
 
----
 +
 
==Referências==
 
==Referências==
 +
<references />
 +
----
 +
==Autores==
 +
<pre>Jaimerson Araújo
 +
 +
Francleide Simão
 +
</pre>

Latest revision as of 09:55, 10 December 2015

Propriedades de Somatório

, onde C é uma constante.

, note que

progressão aritmética.



Principais representações

Soma simples

Soma de quadrados

Quadrado da soma

Soma de produtos

Produtos das somas


Aplicação das Propriedades

Alguns exemplos de aplicações das propriedades do somatório:

Exemplo 1

Utilize as propriedades de notação de somatório e, possivelmente, mudança de índice para deduzir que é igual a , onde é uma sequência de números reais. Este tipo de soma é bastante conhecida em Matemática como soma telescópica.

Resolução


Expandindo vezes:

Exemplo 2

O objetivo deste problema é encontrar uma fórmula fechada para


Para tal, note que


Logo,


Então, utilize o resultado do problema conhecido como "soma telescópia" do exemplo 1 para encontrar a fórmula desejada.

Resolução


Pela fórmula da soma telescópica

Exemplo 3

Utilize as propriedades de notação de somatório e os seus conhecimentos de soma de termos de uma PA para calcular

de forma distinta daquela usada no problema anterior. Qual das duas soluções lhe parece mais fácil?

Resolução

Exemplo 4

Suprimindo um dos elementos do conjunto {}, a média aritmética dos elementos

16,1. Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido do conjunto para o cálculo da média.

Resolução

média aritmética é dada por :

Pela propriedade da progressão aritmética



usando a função de calculo da média:

Substituindo na equação:

Portanto o termo omitido foi:

Exemplo 5

Encontre uma fórmula fechada

onde .

Resolução

Temos:


Incompleto

Exemplo 6

Calcule a soma

onde

Resolução

Separando o somatório:

/

teremos que descobrir o

então

Incompleto

Exemplo 7

Os números

podem pertencer a uma mesma progressão aritmética?

Resolução

Assumindo uma PA

os termos pertencem a essa progressão se pela propriedade da progressão aritmética a média aritmética dos termos da ponta de uma sequencia (a, b e c) for igual a o termo do meio:

inserindo os valores na equação:


Portanto não pertencem a mesma progressão aritmética.



Provas de algumas propriedades

Multiplicação por constante

, onde C é uma constante.

Passo base: s = t

, pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t

Suponha que para um arbitrário:

(Hipótese de indução)


Para , assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

, pela definição de somatório.


Aplicando a HI:


Expandindo vezes:


Colocando em evidência:


Portanto:

, onde C é uma constante, .


Mudança de índices

Passo base: s = t

, pela definição de somatório.

Passo indutivo: s < t

Suponha que para um arbitrário:

(Hipótese de indução)


Para , assumindo o lado esquerdo da equação, temos:

, pela definição de somatório.


Aplicando a HI:


Expandindo vezes:

, uma vez que existem termos.


Portanto:

.


Somatório em Linguagem Funcional

Elixir[1]

defmodule FMC do
  def somatorio(start \\0, finish, callback)

  def somatorio(start, finish, callback) when start == finish do
    callback.(start)
  end

  def somatorio(start, finish, callback) do
    _somatorio(Enum.to_list(start..finish), callback)
  end

  defp _somatorio([], _), do: 0
  defp _somatorio([head | tail], callback) do
    callback.(head) + _somatorio(tail, callback)
  end
end

Referências


Autores

Jaimerson Araújo

Francleide Simão