Difference between revisions of "Exercícios de Dedução Natural"
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=== Derivabilidade de sequentes === | === Derivabilidade de sequentes === | ||
====<math>\varphi \land \psi \vdash \psi \land \varphi</math>==== | ====<math>\varphi \land \psi \vdash \psi \land \varphi</math>==== | ||
− | + | : {{#ev:youtube|moh07B8dv2k|||||start=480&end=527&loop=1}} | |
====<math>(\varphi \land \psi) \land \delta \vdash \varphi \land (\psi \land \delta)</math>==== | ====<math>(\varphi \land \psi) \land \delta \vdash \varphi \land (\psi \land \delta)</math>==== | ||
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====<math>\varphi \vdash \varphi \land \varphi</math>==== | ====<math>\varphi \vdash \varphi \land \varphi</math>==== | ||
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====<math>\alpha \land \beta, \gamma \land \delta \vdash \gamma \land \beta</math>==== | ====<math>\alpha \land \beta, \gamma \land \delta \vdash \gamma \land \beta</math>==== | ||
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====<math>\alpha \to (\beta \to \gamma) \vdash \beta \to (\alpha \to \gamma)</math>==== | ====<math>\alpha \to (\beta \to \gamma) \vdash \beta \to (\alpha \to \gamma)</math>==== | ||
− | + | : {{#ev:youtube|mlEYLd56pMg|||||start=579}} | |
====<math>\vdash \alpha \to (\beta \to \alpha)</math>==== | ====<math>\vdash \alpha \to (\beta \to \alpha)</math>==== | ||
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====<math>\alpha \to \beta \vdash \alpha \to (\alpha \to \beta)</math>==== | ====<math>\alpha \to \beta \vdash \alpha \to (\alpha \to \beta)</math>==== | ||
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====<math>\alpha \to (\alpha \to \beta) \vdash \alpha \to \beta</math>==== | ====<math>\alpha \to (\alpha \to \beta) \vdash \alpha \to \beta</math>==== | ||
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====<math>\gamma \to \alpha, \gamma \to \beta \vdash \gamma \to (\alpha \land \beta)</math>==== | ====<math>\gamma \to \alpha, \gamma \to \beta \vdash \gamma \to (\alpha \land \beta)</math>==== | ||
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====<math>\beta \lor (\alpha \land \beta) \vdash \beta</math>==== | ====<math>\beta \lor (\alpha \land \beta) \vdash \beta</math>==== | ||
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====<math>(\alpha \lor \beta) \to \gamma \vdash (\alpha \to \gamma) \land (\beta \to \gamma)</math>==== | ====<math>(\alpha \lor \beta) \to \gamma \vdash (\alpha \to \gamma) \land (\beta \to \gamma)</math>==== | ||
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====<math>\alpha\lor\beta, \neg\alpha\lor\gamma \vdash \beta\lor\gamma</math>==== | ====<math>\alpha\lor\beta, \neg\alpha\lor\gamma \vdash \beta\lor\gamma</math>==== | ||
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====<math> \alpha\to\beta \vdash \neg\beta\to\neg\alpha</math>==== | ====<math> \alpha\to\beta \vdash \neg\beta\to\neg\alpha</math>==== | ||
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====<math>\neg(\alpha \lor \beta) \dashv\vdash \neg\alpha\land\neg\beta</math>==== | ====<math>\neg(\alpha \lor \beta) \dashv\vdash \neg\alpha\land\neg\beta</math>==== | ||
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===Derivabilidade de regras=== | ===Derivabilidade de regras=== | ||
==== <math>\mathrm{(DNE)}</math> a partir de <math>\mathrm{DN_{int}}</math> + (<math>\mathrm{\bot E_{cls}}</math>) ==== | ==== <math>\mathrm{(DNE)}</math> a partir de <math>\mathrm{DN_{int}}</math> + (<math>\mathrm{\bot E_{cls}}</math>) ==== | ||
− | + | : {{#ev:youtube|0RiYJ5EinRE|||||start=312}} | |
==== <math>(\mathrm{\bot E_{cls}})</math> a partir de <math>\mathrm{DN_{int}}</math> + <math>\mathrm{(DNE)}</math> ==== | ==== <math>(\mathrm{\bot E_{cls}})</math> a partir de <math>\mathrm{DN_{int}}</math> + <math>\mathrm{(DNE)}</math> ==== | ||
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==== <math>(\mathbb{M})</math> ==== | ==== <math>(\mathbb{M})</math> ==== | ||
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==== <math>(\mathbb{R})</math> ==== | ==== <math>(\mathbb{R})</math> ==== | ||
− | + | : {{#ev:youtube|jdHxUb2koy8|||||start=184}} | |
==== <math>(\mathbb{T})</math> ==== | ==== <math>(\mathbb{T})</math> ==== | ||
− | + | : {{#ev:youtube|jdHxUb2koy8|||||start=226}} | |
==Dedução Natural para a Lógica Proposicional Clássica== | ==Dedução Natural para a Lógica Proposicional Clássica== | ||
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====Terceiro Excluído / ''Tertium Non Datur'': <math>\vdash\varphi\lor\neg\varphi</math>==== | ====Terceiro Excluído / ''Tertium Non Datur'': <math>\vdash\varphi\lor\neg\varphi</math>==== | ||
− | + | : {{#ev:youtube|kNyjuCFUzC8}}<!-- | |
-->''Tarefa:'' Demonstrar a mesma fórmula, invertendo a ordem de aplicação das regras de introdução da disjunção. | -->''Tarefa:'' Demonstrar a mesma fórmula, invertendo a ordem de aplicação das regras de introdução da disjunção. | ||
==== <math>\neg\neg\alpha \vdash \alpha</math> ==== | ==== <math>\neg\neg\alpha \vdash \alpha</math> ==== | ||
− | + | : {{#ev:youtube|0RiYJ5EinRE|||||start=499}} | |
==== <math>\neg\beta\to\alpha, \neg\beta\to\neg\alpha \vdash \beta</math> ==== | ==== <math>\neg\beta\to\alpha, \neg\beta\to\neg\alpha \vdash \beta</math> ==== | ||
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==== <math>\neg\alpha\to\neg\beta \vdash \beta\to\alpha</math> ==== | ==== <math>\neg\alpha\to\neg\beta \vdash \beta\to\alpha</math> ==== | ||
− | + | : {{#ev:youtube|0RiYJ5EinRE|||||start=596}} | |
==== <math>\vdash (\alpha \to \beta) \lor (\beta \to \alpha)</math>, via raciocínio por absurdo ==== | ==== <math>\vdash (\alpha \to \beta) \lor (\beta \to \alpha)</math>, via raciocínio por absurdo ==== | ||
− | + | : {{#ev:youtube|9BdeXjhyJWs|||||start=45}} | |
==== <math>\vdash (\alpha \to \beta) \lor (\beta \to \alpha)</math>, via terceiro excluído ==== | ==== <math>\vdash (\alpha \to \beta) \lor (\beta \to \alpha)</math>, via terceiro excluído ==== | ||
− | < | + | : {{#ev:youtube|9BdeXjhyJWs|||||start=413}} |
+ | |||
+ | ==Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista== | ||
+ | === Derivabilidade de sequentes === | ||
+ | ==== <math>(\forall x)(\varphi \to \psi) \vdash (\forall x)\varphi \to (\forall x)\psi</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1040}} | ||
+ | ==== <math>(\forall x)Q(x) \vdash (\forall y)Q(y)</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1244}} | ||
+ | ==== <math>(\forall x_1)(\forall x_2)R(x_1,x_2) \vdash (\forall x_2)(\forall x_1)R(x_1,x_2)</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1303}} | ||
+ | ==== <math>(\forall x) \varphi_1 \land \varphi_2 \dashv\vdash (\forall x) \varphi_1 \land (\forall x)\varphi_2</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|B7fFRZF_wao|||||start=1678}} | ||
+ | ==== <math>(\exists x)P(x), (\forall x)(\forall y)(P(x) \to Q(y)) \vdash (\forall y) Q(y)</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=810}} | ||
+ | ==== <math>(\forall x)A(x), (\exists y)(A(y) \to B(y)), (\forall z)(A(z) \to C(z)) \vdash (\exists w)(B(w) \land C(w))</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1152}} | ||
+ | ==== <math>(\exists x)(\varphi_1 \lor \varphi_2) \dashv \vdash (\exists x)\varphi_1 \lor (\exists x)\varphi_2</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1425}} | ||
+ | ==== <math>(\exists x)(\forall y) \varphi \vdash (\forall y)(\exists x) \varphi</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1701}} | ||
+ | ==== <math>(\forall x)\neg\varphi \vdash \neg(\exists x)\varphi</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|C37Y-1vqRAY|||||start=1910}} | ||
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+ | ==Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Clássica== | ||
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+ | === Derivabilidade de sequentes === | ||
+ | |||
+ | ==== <math>\neg(\exists x)\neg\varphi \vdash (\forall x)\varphi</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|8V6u6BrqJ-M|||||start=188}} | ||
+ | ==== <math>\vdash (\exists x)(\forall y)(B(y) \lor \neg B(x))</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|8V6u6BrqJ-M|||||start=460}} | ||
===Derivabilidade de regras=== | ===Derivabilidade de regras=== | ||
− | + | ====Raciocínio por casos: <math>\Gamma_1, \neg\varphi\vdash\psi; \Gamma_2, \varphi\vdash\psi \, / \, \Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \psi</math>==== | |
+ | : {{#ev:youtube|w-f04Idz-6M|||||end=141&loop=1}} | ||
+ | |||
+ | ====Raciocínio por redução ao absurdo: <math>\Gamma_1, \neg\varphi\vdash\neg\psi; \Gamma_2, \neg\varphi\vdash\psi \, / \, \Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \varphi</math>==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|w-f04Idz-6M|||||start=149&loop=1}} | ||
+ | |||
+ | ==== <math>(\approx_{sim}) \Gamma \vdash t_1 \approx t_2 / \Gamma \vdash t_2 \approx t_1</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|knltOmL0XEg|||||start=435}} | ||
+ | ==== <math>(\approx_{trn}) \Gamma_1 \vdash t_1 \approx t_2; \Gamma_2 \vdash t_2 \approx t_3/ \Gamma_1,\Gamma_2 \vdash t_1 \approx t_3</math> ==== | ||
+ | : {{#ev:youtube|knltOmL0XEg|||||start=515}} | ||
==Para reflexão== | ==Para reflexão== | ||
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* O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica Intuicionista a regra <math> (\bot \mathrm{E}_{cls}) </math> adicionarmos a seguinte regra de ''consequentia mirabilis''?</p><!-- | * O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica Intuicionista a regra <math> (\bot \mathrm{E}_{cls}) </math> adicionarmos a seguinte regra de ''consequentia mirabilis''?</p><!-- | ||
--><p><math> (\neg_{cls}) \; \Gamma, \neg\alpha \vdash \alpha\, / \, \Gamma \vdash \alpha </math></p><!-- | --><p><math> (\neg_{cls}) \; \Gamma, \neg\alpha \vdash \alpha\, / \, \Gamma \vdash \alpha </math></p><!-- | ||
− | --><p>( | + | --><p>(Será que podemos dizer, neste caso, que se trata de uma regra de introdução ou de eliminação? E quanta diferença isso faz?) |
+ | |||
+ | * O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista a regra <math> (\bot \mathrm{E}_{cls}) </math> adicionarmos a regra </p><!-- | ||
+ | --><p><math> (DNQ) \; \Gamma \vdash (\forall x)\neg\neg\varphi\, / \, \Gamma \vdash \neg\neg(\forall x)\varphi </math></p> | ||
==Veja também== | ==Veja também== | ||
− | *[[Dedução Natural]] | + | * [[Dedução Natural]] |
− | *[[Estratégias de demonstração]] | + | * [[Estratégias de demonstração]] |
+ | * [[Introdução Computacional à Lógica Matemática]] | ||
==Links externos== | ==Links externos== | ||
− | * | + | * [http://pt.wikipedia.org/wiki/Dedu%C3%A7%C3%A3o_natural Dedução natural] |
+ | * [http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_dedutivo Sistema dedutivo] |
Latest revision as of 11:07, 23 July 2021
Contents
Dedução Natural para a Lógica Proposicional Intuicionista
Derivabilidade de sequentes
Derivabilidade de regras
a partir de + ()
a partir de +
Dedução Natural para a Lógica Proposicional Clássica
Derivabilidade de sequentes
Terceiro Excluído / Tertium Non Datur:
- Tarefa: Demonstrar a mesma fórmula, invertendo a ordem de aplicação das regras de introdução da disjunção.
, via raciocínio por absurdo
, via terceiro excluído
Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista
Derivabilidade de sequentes
Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Clássica
Derivabilidade de sequentes
Derivabilidade de regras
Raciocínio por casos:
Raciocínio por redução ao absurdo:
Para reflexão
- O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica Intuicionista a regra
adicionarmos uma regra da forma
para algum conectivo binário da nossa linguagem?
- O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica Intuicionista a regra adicionarmos a seguinte regra de consequentia mirabilis?
(Será que podemos dizer, neste caso, que se trata de uma regra de introdução ou de eliminação? E quanta diferença isso faz?)
- O que ocorre se ao invés de adicionarmos ao sistema de Dedução Natural para a Lógica de Primeira Ordem Intuicionista a regra adicionarmos a regra